发起人要求进度计划缩短4个月，无论要求是否合理，根据实施整体变更流程，先记录，然后根据变更流程5步骤处理该项变更。A,B,D都属于未经流程的直接行动，未必能满足项目各方面的制约因素，所以还是要根据整体变更流程来推进后续的进程。

在这种情况下，项目经理需要处理项目范围、时间和资源之间的变更。项目的变更需要通过正式的变更控制流程来处理，以确保所有相关方都了解变更的影响并同意这些变更。

选项C：“记录变更请求，并执行整体变更控制”是正确的选择。以下是专业分析：

1. **变更管理流程**：项目管理中的最佳实践是通过正式的变更管理流程来处理任何重大变更。项目经理应该首先记录发起人的变更请求，然后通过项目的整体变更控制流程来评估和批准这些变更。

2. **评估影响**：通过变更控制流程，项目经理可以评估缩短项目时间表对项目范围、成本、质量和风险的影响。这有助于确定是否需要额外资源或资金，以及如何调整项目计划以实现新的目标。

3. **利益相关者沟通**：变更控制流程还包括与所有相关方沟通变更的影响和调整后的计划，以确保所有人对变更有清晰的理解，并获得必要的支持和批准。

其他选项分析：

- A: 要求团队成员加班虽然可能在短期内提高生产力，但可能会导致团队疲劳和士气下降，长期来看可能影响项目质量和员工满意度。

- B: 直接要求额外资金赶工没有经过正式的变更控制流程，可能导致对项目预算的不可控影响。

- D: 要求更多资源快速跟进进度计划也是一种可能的解决方案，但仍需要通过变更控制流程来评估其可行性和影响。

因此，选项C是处理这种情况的最佳实践。