将顺序进行的工作，改成至少部分并行去做。

在这种情况下，项目经理应用的进度技术是 C: 快速跟进。

快速跟进（Fast Tracking）是一种项目管理技术，它通过在项目的不同阶段之间重叠活动来加快项目进度。在这个案例中，项目经理让编程人员在需求和设计完成之前就开始代码编写，这正是快速跟进的典型特征，因为通常情况下，代码编写是在需求和设计阶段完成之后才开始的。

以下是对其他选项的分析：

A: 赶工（Crashing）是指通过增加资源投入来缩短项目时间，比如加班或增加人力。这与题目中描述的提前开始编码无关。

B: 快速执行（Rapid Execution）不是一个标准的项目管理术语，通常不用于描述特定的进度技术。

D: 分阶段执行（Phased Execution）通常指项目分阶段进行，每个阶段在前一个阶段完成后开始。这与题目中描述的重叠阶段不符。

因此，正确答案是 C: 快速跟进。