在这个逻辑表达式中，我们可以分析各个部分来确定最终输出的结果。

### 分析
1. **`0 and 2`**:
- `and` 运算符：当使用 `and` 时，计算会从左到右进行，直到找到第一个 `False` 值或最终值。
- 在这里，`0` 在 Python 中被认为是 `False`，所以 `0 and 2` 的结果是 `0`。

2. **`0 or 1`**:
- `or` 运算符：当使用 `or` 时，计算同样从左到右进行，直到找到第一个 `True` 值或最终值。
- 然而，`0` 是 `False`，因此评估会继续进行，所以结果是 `1`。

3. **`1 or 4`**:
- 由于 `1` 是 `True`，所以表达式在此处终止，返回 `1`。

### 最终结果

结合以上分析：
- `0 and 2` 返回 `0`
- `0 or 1` 返回 `1`
- `1 or 4` 返回 `1`

因此，整个表达式 `0 and 2 or 1 or 4` 的最终输出结果是 `1`。

### 答案
所以，正确答案是：**B: 1**。