要分析这些操作，我们需要理解对象 `a` 和 `b` 的数据类型及其所支持的操作。

- `a = "1984"` 是一个字符串。
- `b = 1984` 是一个整数。

我们就每个选项逐一分析：

### A: `a + a`, `b + b`

- `a + a`：字符串支持拼接操作，所以 `"1984" + "1984"` 是合法的，结果是 `"19841984"`。
- `b + b`：整数支持加法，所以 `1984 + 1984` 是合法的，结果是 `3968`。

### B: `a*2`, `b**2`

- `a*2`：字符串可以进行复制操作，所以 `"1984" * 2` 是合法的，结果是 `"19841984"`。
- `b**2`：整数可以进行指数运算，所以 `1984**2` 是合法的，结果是 `3936256`。

### C: `a - a`, `b[-1]`

- `a - a`：字符串不支持减法操作，因此这个操作会导致错误。
- `b[-1]`：整数不支持索引操作，`b` 作为整数没有索引，因此这个操作会导致错误。

### D: `a[-1]`, `b - b`

- `a[-1]`：字符串支持索引操作，`"1984"[-1]` 是合法的，结果是字符 `'4'`。
- `b - b`：整数支持减法，所以 `1984 - 1984` 是合法的，结果是 `0`。

根据以上分析，正确答案是 **C**：

- 对于 `a`，不能执行的是 `a - a`。
- 对于 `b`，不能执行的是 `b[-1]`。