要解决这个问题,我们需要进行假设检验,确定样本结果是否显著偏离总体假设。以下是解决该问题的步骤和分析。
### 1. **假设检验的设定**
- **原假设 (H0)**: 样本均值等于总体均值,即 \( \mu = 100 \)。
- **备择假设 (H1)**: 样本均值不等于总体均值,即 \( \mu \neq 100 \)。
因此,选项 A 是正确的。
### 2. **确定拒绝域**
这是一个双侧检验,因为我们想知道样本均值是否与总体均值有显著差异,而不是指向特定方向(大于或小于)。使用给定的 t 分布临界值 \( t_{0.025}(15) = 2.13 \),我们可以确定拒绝域。
- 拒绝域为:\( |t| \geq 2.13 \)
因此,选项 C 是正确的。
### 3. **计算 t 统计量**
公式为:
\[
t = \frac{\bar{x} - \mu}{s/\sqrt{n}}
\]
其中:
- \(\bar{x} = 110\)(样本均值)
- \(\mu = 100\)(总体均值)
- \(s = 10\)(样本标准差)
- \(n = 16\)(样本大小)
代入计算:
\[
t = \frac{110 - 100}{10/\sqrt{16}} = \frac{10}{2.5} = 4
\]
### 4. **进行假设检验**
计算的 t 统计量为 4,显然大于临界值 2.13,落在拒绝域内,因此我们拒绝原假设。
- 结论:我们拒绝原假设,可能生产线出现了问题。
因此,选项 D 是正确的。
### 综合分析
正确选项为:A, C, D。原假设设定为均值等于100,双侧检验的拒绝域为 \( |t| \geq 2.13 \),计算的 t 统计量为 4,落在拒绝域内,因此我们拒绝原假设,说明生产过程可能存在问题。