本题考查主成分分析相关知识。选项A表述的信息是因子分析，不是主成分分析。选项B中主成分分析对应最大特征值的特征向量，其方向正是协方差矩阵变异最大的方向，表述错误。选项C前k个主成分特征根单个需要大于1，因此表述错误。选项D表述正确，因此本题选D。

主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是一种常用的数据降维技术，其目的是通过线性变换将原始数据转换为一组新的变量（即主成分），这些主成分是彼此正交的，并且尽可能多地保留原始数据的方差信息。以下是对选项的分析：

A: 主成分分析的本质就是找到解释变量的公共因子和特殊因子。
- 这个描述不准确。主成分分析的本质是通过线性变换将原始变量转换成一组新的不相关变量（主成分），这些新变量尽可能多地保留原始数据的方差信息。公共因子和特殊因子是因子分析（Factor Analysis）的概念，而不是主成分分析的概念。

B: 在主成分分析中，对应最大特征值的特征向量，其方向正是协方差矩阵变异最小的方向。
- 这个描述是错误的。对应最大特征值的特征向量的方向是协方差矩阵变异最大的方向，而不是最小的方向。主成分分析通过寻找数据中方差最大的方向来确定主成分。

C: 我们一般只保留的前k个主成分，其对应主成分特征根之和大于1就可以了。
- 这个描述不完全正确。虽然特征根（也即特征值）之和大于1是一个保留主成分的标准，但更常见的标准是累积解释方差的比例。例如，通常希望保留的主成分能够解释数据中的大部分变异。

D: 我们一般使得保留的前k个主成分累计能够解释数据80%以上的变异。
- 这个描述是正确的。通常在实际应用中，我们希望保留的主成分能够解释数据中绝大部分的变异，80%以上是一个常见的经验值。

综合以上分析，正确的描述是D。