二项分布的期望E(x)=np=2,D(x)=np(1-p)=1,求出n和p的值带入二项分布的概率计算公式即可

已知随机变量 \( X \) 服从二项分布 \( X \sim B(n, p) \)，且 \( E(X) = 2 \)，\( D(X) = 1 \)。我们需要求 \( P(X = 3) \)。

首先，根据二项分布的性质：
\[ E(X) = np \]
\[ D(X) = np(1 - p) \]

已知 \( E(X) = 2 \)，所以：
\[ np = 2 \]

已知 \( D(X) = 1 \)，所以：
\[ np(1 - p) = 1 \]

将 \( np = 2 \) 代入 \( np(1 - p) = 1 \) 中：
\[ 2(1 - p) = 1 \]
\[ 2 - 2p = 1 \]
\[ 2p = 1 \]
\[ p = \frac{1}{2} \]

再将 \( p = \frac{1}{2} \) 代入 \( np = 2 \) 中：
\[ n \cdot \frac{1}{2} = 2 \]
\[ n = 4 \]

所以，随机变量 \( X \) 服从二项分布 \( B(4, \frac{1}{2}) \)。

现在，我们需要计算 \( P(X = 3) \)：
\[ P(X = 3) = \binom{4}{3} \left( \frac{1}{2} \right)^3 \left( 1 - \frac{1}{2} \right)^{4-3} \]
\[ P(X = 3) = \binom{4}{3} \left( \frac{1}{2} \right)^3 \left( \frac{1}{2} \right)^1 \]
\[ P(X = 3) = 4 \left( \frac{1}{2} \right)^4 \]
\[ P(X = 3) = 4 \cdot \frac{1}{16} \]
\[ P(X = 3) = \frac{4}{16} \]
\[ P(X = 3) = \frac{1}{4} \]

所以，正确答案是 A: \( \frac{1}{4} \)。