显著性水平就是表示原假设为真时，拒绝原假设的概率。

在假设检验中，显著水平（α）是指在原假设 \( H_0 \) 正确的情况下，拒绝原假设的概率。这个概率也称为第一类错误的概率。让我们逐项分析选项：

A: \( p(\text{接受 } H_0 \mid H_0 \text{ 正确}) = \alpha \)
- 这不正确。显著水平 \( \alpha \) 是指在 \( H_0 \) 正确的情况下拒绝 \( H_0 \) 的概率，而不是接受 \( H_0 \) 的概率。

B: \( p(\text{接受 } H_0 \mid H_0 \text{ 不正确}) = 1 - \alpha \)
- 这不正确。\( 1 - \alpha \) 是在 \( H_0 \) 正确的情况下接受 \( H_0 \) 的概率，而不是在 \( H_0 \) 不正确的情况下接受 \( H_0 \) 的概率。

C: \( p(\text{拒绝 } H_0 \mid H_0 \text{ 正确}) = \alpha \)
- 这是正确的。显著水平 \( \alpha \) 就是指在 \( H_0 \) 正确的情况下拒绝 \( H_0 \) 的概率。

D: \( p(\text{拒绝 } H_0 \mid H_0 \text{ 不正确}) = 1 - \alpha \)
- 这不正确。\( 1 - \alpha \) 是在 \( H_0 \) 正确的情况下接受 \( H_0 \) 的概率，而不是在 \( H_0 \) 不正确的情况下拒绝 \( H_0 \) 的概率。

因此，正确答案是：

C: \( p(\text{拒绝 } H_0 \mid H_0 \text{ 正确}) = \alpha \)