Syntax to modify column value: update table name set column name=expression

正确答案是C: update student set age=age+1。

专业分析如下：

在SQL中，`UPDATE`语句用于修改表中的现有记录。其基本语法为：

```sql
UPDATE 表名 SET 列名 = 新值 WHERE 条件;
```

在这个问题中，我们需要将`student`表中每个学生的`age`字段的值增加1。正确的SQL语法应该是：

```sql
UPDATE student SET age = age + 1;
```

选项分析：
- A: `update set age with age+1`：这个语法是错误的，`UPDATE`语句后必须跟表名。
- B: `replace age with age+1`：`REPLACE`不是用来更新表中记录的正确关键字。
- C: `update student set age=age+1`：这是正确的语法，符合SQL标准。
- D: `update student age with age+1`：这个语法也是错误的，`UPDATE`语句中没有`with`关键字。

因此，选项C是正确的。