要将一块长24厘米，宽16厘米的木板分割成一个正方形和两个相同的圆形，并使弃去的部分面积最小，我们需要找到合适的正方形边长和圆的半径。

首先，假设正方形的边长为 \( x \)，那么正方形的面积为 \( x^2 \)。

剩下的部分需要容纳两个相同的圆。假设圆的半径为 \( r \)，那么两个圆的面积为 \( 2\pi r^2 \)。

木板的总面积为 \( 24 \times 16 = 384 \) 平方厘米。

我们希望弃去的部分面积最小，因此：

\[ 384 - x^2 - 2\pi r^2 \]

要最小化。为了让两个圆放在正方形旁边，圆的直径 \( 2r \) 不能超过木板的宽度或正方形的边长，所以 \( 2r \leq 16 \) 和 \( 2r \leq x \)。

考虑到正方形和两个圆的布局，最简单的布局是正方形和两个圆并排放置在木板上。此时，正方形和两个圆的总宽度为 \( x + 2r \leq 24 \)。

为了最小化弃去的部分面积，我们需要最大化 \( x^2 + 2\pi r^2 \) 的值。

通过试验选项，我们可以找到一个合适的 \( r \) 值，使弃去的部分最小：

- 选择 \( r = 4 \)：
- 则圆的直径 \( 2r = 8 \)，满足条件 \( 2r \leq 16 \)。
- 正方形的边长 \( x \) 可以是 \( 24 - 2r = 24 - 8 = 16 \)。
- 正方形的面积为 \( 16^2 = 256 \)。
- 两个圆的面积为 \( 2\pi \times 4^2 = 32\pi \approx 100.53 \)。
- 弃去的面积为 \( 384 - 256 - 100.53 \approx 27.47 \)。

通过这些计算，选择 \( r = 4 \) 时，弃去的面积最小。因此，正确答案是 D: 4。